Teorema de De Morgan

Teorema de De Morgan

 Vamos falar de um último teorema, que é suficientemente importante para ser
tratado separadamente. Conhecido por Teorema de De Morgan, aplica-se a um número
arbitrário de variáveis e na sua forma dual é apresentado da seguinte forma:

A⋅ B⋅C ⋅... = A+ B +C +... A+ B + B +... = A⋅ B⋅C ⋅...

Por outras palavras, estas equações dizem que o complemento de um produto de variáveis
é igual à soma dos complementos das variáveis individuais (equação da esquerda) e o
complemento de uma soma de variáveis é igual ao produto dos complementos das
variáveis individuais (equação da direita).
O Teorema de De Morgan define as regras usadas para converter operações lógicas AND
em operações lógicas OR e vice-versa. Essas regras são: A negação da soma lógica,
representada pela seguinte equação Z = A+ B = A⋅ B , e a negação do produto lógico,
representado pela equação Z = A⋅B = A+ B .
Vamos ver agora os seguintes exemplos usando, além das respectivas equações, os circuitos
lógicos correspondentes; a explicação das gates será dada imediatamente a seguir.

Assim, para duas variáveis temos:

A⋅ B = A+ B e A+ B = A⋅ B

Em termos de gates lógicas, podemos ver a sua correspondência na figura :

É equivalente a :

E a sua respectiva expressão lógica é A⋅ B = A+ B


A ideia é que, ao “quebrar” a barra sobre uma operação, esta muda de sinal, isto é, ao
“quebrar” uma barra longa no primeiro termo, a operação correspondente a essa barra
transforma-se de multiplicação em soma e vice-versa.
Com vista ao desenvolvimento de um procedimento de simplificação de funções lógicas,
vamos falar de duas formas padrão em que as funções lógicas podem ser expressas. A
primeira é a soma de produtos. A soma de produtos é uma forma de representação de
funções booleanas em que é aplicada a operação lógica “OU” sobre um conjunto de
termos formados pela operação “E”.
Tomemos o seguinte exemplo:
Dada a função lógica f (A, B,C,D) = (A+ BC)(B +CD) , vamos expressá-la como
uma soma de produtos. Através do axioma da distributividade chegamos ao seguinte:

f (A, B,C,D) = (A+ BC)(B +CD)
= (A+ BC)B + (A+ BC)CD
= AB + BBC + ACD+ BCCD
= AB + BC + ACD + BCD

Vejamos outro exemplo:

Dada a função lógica de cinco variáveis f (A, B,C,D, E) = (A+ BC)(D + BE) , vamos
expressá-la como uma soma de produtos. Através do teorema de De Morgan e do axioma
da distributividade chegamos ao seguinte:

f (A, B,C,D, E) = (A+ BC)(D+ BE)
= (A+ B +C)[D(BE)]
= (A+ B +C)[D(B + E)]
= (A+ B +C)(BD+ DE)
= ABD+ ADE + BD+ BDE + BCD+CDE

Por estes exemplos podemos ver que: caso apareçam na sua forma complementar
apenas variáveis individuais, como no primeiro exemplo, necessitamos de usar apenas
o axioma da distributividade; caso o sinal de complementaridade apareça numa
combinação de variáveis, como no segundo exemplo, devemos usar primeiro o teorema
de De Morgan.